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La percepción humana del infinito siempre fue por nuestra capacidad de comprensión. Durante siglos, las matemáticas nos ofrecieron herramientas para conceptualizar lo inconmensurable, permitiéndonos organizar los distintos tipos de infinito en una estructura jerárquica relativamente ordenada.
Sin embargo, un reciente descubrimiento realizado por científicos de la Universidad Tecnológica de Viena y la Universidad de Barcelona desafía por completo esta visión ordenada.
Este hallazgo presenta dos nuevos tipos de infinitos denominados "cardinales exactos" y "ultraexactos", que no se ajustan a la clasificación tradicional establecida desde los tiempos de Georg Cantor.
La historia detrás de los diferentes tipos de infinito
La idea de que existen distintos "tamaños" de infinito no es nueva. En 1878, el matemático Georg Cantor revolucionó el pensamiento matemático cuando demostró que el conjunto de los números reales constituye un infinito más grande que el conjunto de los números naturales.
Este descubrimiento sentó las bases para la creación de una jerarquía ascendente de infinitos cada vez más grandes, ordenados como una escalera sin fin.
Así, durante décadas, los matemáticos operaron bajo el axioma de elección, una regla fundamental que permitió clasificar los infinitos en tres categorías principales: aquellos que siguen las reglas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, los que generan caos matemático completo, y una región intermedia donde los infinitos parecían encajar de forma moderada entre ambos extremos.
Cardinales exactos y ultraexactos: los nuevos rebeldes matemáticos
Los nuevos infinitos descubiertos presentan características extraordinarias que los distinguen de todos los conocidos anteriormente.
Según explica Juan Aguilera de la Universidad Tecnológica de Viena a New Scientist, estos infinitos "interactúan de manera muy, muy extraña con otras nociones de infinito".
Para comprender estos nuevos cardinales de forma simplificada, podemos recurrir a una metáfora: los cardinales exactos son conjuntos tan enormes que contienen copias matemáticamente perfectas de toda su estructura, similar a una casa que alberga réplicas exactas de sí misma en su interior.
Los cardinales ultraexactos van aún más lejos: no solo contienen copias de sí mismos, sino también las reglas matemáticas para su propia creación, como si esa casa contuviera además los planos completos para construirse a sí misma.
Desafiando el orden establecido en matemáticas
Lo más sorprendente de estos nuevos infinitos es que desafían la clasificación tradicional.
Inicialmente, los investigadores pensaron que estos cardinales se ubicarían en la región intermedia de la clasificación del axioma de elección. Sin embargo, estos peculiares infinitos parecen resistirse a encajar en cualquier categoría existente.
Esta resistencia a la clasificación podría tener profundas implicaciones para la conjetura HOD (Hereditariamente Ordinal Definible), que propone que el axioma de elección recuperaría cierto orden en escalas infinitas muy grandes.
Si estos nuevos cardinales son aceptados por la comunidad matemática, podrían demostrar que el caos domina incluso en los niveles más altos del infinito.